1  Les objectifs

2  Factorielle et problèmes avec les entiers

1. fact1() :
   Écrivez en Java (dans la classe Factorielle) la fonction factorielle non récursive, mais avec une amélioration : retournez systématiquement -1 si le paramètre est négatif. (Rappel: 0! = 1)
   Essayez 6; ça fait bien 720 ?
2. monTest() :
   Écrivez en Java (dans la classe Factorielle) une procédure de test qui affiche la factorielle de tous les nombres compris entre ses 2 paramètres, sous la forme 3! = 6 (par exemple, pour la factorielle de 3)
   Questions :
   • Essayez l'intervalle [-2, 6], puis essayez les bornes supérieures suivantes.
   • Comment trouver le nombre maximum dont on peut calculer la factorielle avec cette fonction ?
   • Essayez [0, 17] ; pourquoi, simplement en voyant ce résultat, sait-on immédiatement que le maximum sera inférieur à 17 ?
   • Regardez 13 ; pourquoi, simplement en voyant ce résultat, sait-on immédiatement que le maximum sera inférieur à 13 ?
   Ajoutez dans fact1() un test pour ne pas accepter un paramètre supérieur au maximum trouvé précédemment. Retournez -1 dans ce cas.
3. Dans la classe FactorielleTest, décommentez la méthode testfact1().
   Compilez; s'il y a des erreurs, corrigez votre code pour qu'il corresponde avec ce qu'attend la classe de test. Run Tests (bouton à gauche). Tout est vert ? Sinon, voir le second encadré ci-dessous.
   

4. UTILE POUR L'EXERCICE 4.2.1 : Comment intégrer une classe de test ? - Cliquer dans la page web du sujet sur le lien du fichier de test, sélectionner tout, copier. - Dans BlueJ, cliquer-droit sur la classe, choisir Create Test Class. - Sélectionner tout, coller, compiler. - Ne pas modifier la classe de test.

    

    

    

    

5. Dans BlueJ, en cas d'échec sur un test, cliquez sur la première ligne non "verte", interprétez le message d'erreur, puis cliquez sur le bouton Show Source pour savoir ce qui a été testé. Il peut également être utile d'utiliser le "Code Pad" (menu View) pour essayer interactivement des expressions Java.

    

    

    

6. fact2() :
   Pour essayer d'aller plus loin que 12!, nous allons utiliser un nouveau type primitif entier qui stocke ses nombres non plus sur 4 mais sur 8 octets (alors pourquoi pas le type double ?) : le mot java est long.
   Dupliquez la méthode fact1() (dans la classe Factorielle) en la changeant de nom, et remplacez uniquement là où il le faut int par long. Les constantes littérales se terminent par L (ex: -1L).
   Pensez-vous que fact2() pourra calculer jusqu'à 100, 1000, plus ?
   Soyons raisonnables : ayant doublé le nombre d'octets, nous supposerons dans un premier temps que le maximum ne peut pas plus que doubler. Modifiez-le dans fact2().
7. monTest2() :
   Recopiez la procédure monTest() et modifiez-la pour qu'elle appelle fact2() au lieu de fact1().
   Questions :
   • Essayez l'intervalle [-2, 6], puis essayez les bornes supérieures suivantes.
   • Mais quel est réellement le nombre maximum dont on peut calculer la factorielle avec cette fonction ?
   • Essayez 24; puis regardez 23, puis ... (posez-vous les mêmes questions qu'au 2. ci-dessus)
   • Réajustez le maximum dans fact2() en fonction des tests précédents.
8. Dans la classe FactorielleTest, décommentez la 2^ème méthode, recompilez, et exécutez les tests.
   Tout est vert ? Passez au 3.
9. A NE PAS COMMENCER EN TP : A TERMINER EN TRAVAIL PERSONNEL  fact3() :
   Pour essayer d'aller plus loin que 20!, nous allons utiliser un nouveau type entier (objet) qui stocke ses nombres non plus sur 4 ou sur 8 octets, mais dans une String de longueur pratiquement illimitée : le nom de cette classe est BigInteger.
   Dupliquez la méthode fact2() (dans la classe Factorielle) en la changeant de nom, et remplacez les long par des BigInteger.
   Il va falloir faire un certain nombre de modifications car nous remplaçons un type primitif par un type objet :
   - repérez le paquetage de BigInteger (voir javadoc); cela servira pour la compilation
   - utilisez le BigInteger de valeur 1 (voir javadoc)
   - utilisez la bonne méthode pour prendre l'opposé (voir javadoc)
   - utilisez la bonne méthode pour convertir un int en BigInteger (voir javadoc, sachant qu'un int est automatiquement converti en long si nécessaire)
   - utilisez la bonne méthode pour multiplier (voir javadoc)
   Pensez-vous que fact3() pourra calculer jusqu'à 100, 1000, plus ?
   Soyons déraisonnables : supprimons la borne supérieure du test dans fact3() et découvrons des factorielles rarement calculées.
10. monTest3() :
    Recopiez la procédure monTest2() et modifiez-la pour qu'elle appelle fact3() au lieu de fact2().
    Questions :
    • Essayez l'intervalle [-2, 22]. Les résultats doivent être identiques à ceux de fact2() jusqu'à 20. Ensuite, nous découvrons les vraies valeurs de 21! et 22! .
    • Maintenant, modifiez la boucle pour qu'elle progresse de 100 en 100 sur l'intervalle [100, 1000].
    • Maintenant, modifiez la boucle pour qu'elle progresse de 1000 en 1000 sur l'intervalle [1000, 10000].
    • Maintenant, modifiez la boucle pour qu'elle progresse de 10000 en 10000 sur l'intervalle [10000, 40000], mais les nombres devenant trop grands, affichez le nombre de chiffres du résultat plutôt que le résultat de la factorielle (voir javadoc de String).
11. Dans la classe FactorielleTest, décommentez la 3^ème méthode, recompilez, et exécutez les tests.
    Tout est vert ?

3  Racine carrée et problèmes avec les réels

1. racine1() :
   Écrivez en Java (dans la classe RacineNewton) une fonction qui calcule la racine carrée d'un nombre positif (sans utiliser Math.sqrt()) selon l'algorithme de Newton, c'est-à-dire : si on suppose que r est une valeur approchée (même mauvaise) de √a, alors Newton a montré que [1/2](r+[a/r]) est une meilleure valeur approchée. On peut donc en théorie se rapprocher aussi près que l'on veut de la valeur "exacte" de la racine carrée ; essayons de le vérifier à e près : on définira e en CONSTANTE (égale à 10^-6 par exemple) et on arrêtera la boucle lorsque l'écart entre r² et a sera inférieur à e.
   Pour cela, on définira une fonction booléenne environ1() qui comparera ses 2 paramètres réels x et y à e près (|x-y| < e ?) et on utilisera environ1(x,y) au lieu de x == y.
   AIDE : Toute valeur initiale est possible pour r, par exemple [a/2] ou 1 ou ...
2. Testez votre fonction avec au moins les valeurs suivantes en plus de décommenter la procédure RacineNewtonTest.testracine1() et d'exécuter les tests :
   1E-6 : ça fait bien 0.001000 ? Pourquoi ?
   1E-20 : ça fait bien 1E-10 ? Pourquoi ?
   1E11 : ça fait bien 316227.766017 ? Pourquoi ? (oscillations ?)
3. racine2() :
   Compte tenu des problèmes précédents, écrivez une nouvelle fonction qui appellera une nouvelle fonction booléenne environ2() qui tiendra compte de l'ordre de grandeur de x ou y pour comparer ses 2 paramètres réels x et y à e près (|[(x-y)/x]| < e ? si x n'est pas trop proche de 0).
   On considérera que x est assimilable à 0 si |x| < 10^-300 ; dans ce cas, √x = 0.0.
   D'autre part, si l'un est proche de 0 et l'autre pas, retourner directement faux !
4. Décommentez la procédure RacineNewtonTest.testracine2() et exécutez les tests. Est-ce correct pour les 3 valeurs problématiques ci-dessus ?

4  Projet "Lines" (A COMMENCER EN TP ET A TERMINER EN TRAVAIL PERSONNEL)

4.1  Créer un nouveau projet

4.2  Créer une nouvelle classe

• finalité : représenter une droite du plan
• attributs : trois réels a, b et c définissant les coefficients de la droite ax+by+c=0
• constructeur : un constructeur pour définir une droite à partir de ses coefficients a, b et c
• méthodes :
  • 1) une fonction d'accès pour chaque attribut (getA() etc...)
  •  2) une fonction toString() qui renverra une chaîne de caractères de la forme :
    "( 1.0x +0.5y -3.0 = 0 )", si a=1, b=0.5, et c=-3.
    Aide : construire la chaîne étape par étape en incorporant les tests nécessaires.

4.2.1  Version 1

•  
  • 3) une fonction estSOL() déterminant si la droite courante est Sécante non orthogonale, Orthogonale, ou co-Linéaire (c'est-à-dire confondue ou parallèle) par rapport à une droite donnée en paramètre et retournant la chaîne de 1 caractère "S", "O", ou "L".
    On supposera que les coefficients stockés dans chacune des 2 droites définissent toujours une équation de droite, qui de plus n'est ni horizontale ni verticale.
    Contrainte : un seul return  !
    Tester cette version. Pour cela, il suffit d'intégrer la classe LineTest au projet, et d'"exécuter les tests".
    Tout est vert ? (interdiction de modifier LineTest)
    Exemples :
    - les droites [1., 2., -3.] et [3., 6., -9.] sont co-linéaires ; retourner "L"
    - les droites [1., 2., -3.] et [3., 6., -3.] sont co-linéaires ; retourner "L"
    - les droites [1., -1., 1.] et [2., 2., -10.] sont orthogonales ; retourner "O"
    - les droites [1., -2., -2.] et [1., 2., -6.] sont sécantes non orthogonales ; retourner "S"
    

4.2.2  Version 2

• •  4) On souhaite maintenant qu'au lieu de répondre "L", la fonction réponde "C" quand les droites sont confondues et "P" lorsqu'elles sont strictement parallèles. Pour cela, modifier la fonction ci-dessus et la nommer désormais estSOPC(). On suppose encore que les coefficients stockés dans chacune des 2 droites définissent toujours une équation de droite, de plus ni horizontale ni verticale.
    Tester cette version. Pour cela, il suffit de copier/coller le contenu du fichier LineTest2 en écrasant la classe LineTest de la version 1, et d'"exécuter les tests".
    Tout est vert ? (interdiction de modifier LineTest) Exemples :
    - les droites [1., 2., -3.] et [3., 6., -9.] sont confondues ; retourner "C"
    - les droites [1., 2., -3.] et [3., 6., -3.] sont strictement parallèles ; retourner "P"
    

4.2.3  Version 3

• • On souhaite maintenant que la fonction marche aussi pour des droites horizontales ou verticales. On suppose encore que les coefficients stockés dans chacune des 2 droites définissent toujours une équation de droite. Ajouter ce qu'il faut dans estSOPC().
    Tester cette version. Pour cela, il suffit de copier/coller le contenu du fichier LineTest3 en écrasant la classe LineTest de la version 2, et d'"exécuter les tests".
    Tout est vert ? (interdiction de modifier LineTest) Exemples :
    - les droites [1., 0., -3.] et [3., 0., -9.] sont confondues ; retourner "C"
    - les droites [0., 2., -3.] et [0., 9., -5.] sont strictement parallèles ; retourner "P"
    - les droites [2., 0., 3.] et [0., 9., 5.] sont orthogonales ; retourner "O"
    

4.2.4  Version 4

• • On veut aussi que la fonction réponde "?" lorsque les coefficients ne définissent pas 2 équations de droites. Ajouter les tests nécessaires.
    Tester cette version. Pour cela, il suffit de copier/coller le contenu du fichier LineTest4 en écrasant la classe LineTest de la version 3, et d'"exécuter les tests".
    Tout est vert ? (interdiction de modifier LineTest) Exemples :
    - les "droites" [0., 0., 1.] et [1., 2., -3.] : la première n'en est pas une ; retourner "?"
    - les "droites" [1., 2., -3.] et [0., 0., 0.] : la seconde n'en est pas une ; retourner "?"
    - les droites [1., 0., -3.] et [3., 0., -9.] sont confondues ; retourner "C"
    - les droites [0., 2., -3.] et [0., 9., -5.] sont strictement parallèles ; retourner "P"
    - les droites [2., 2., 0.] et [1., -1., 1.] sont orthogonales ; retourner "O"
    - les droites [0., 1., -2.] et [1., 2., -6.] sont sécantes non orthogonales ; retourner "S"
    

4.2.5  Version 5

• • On veut enfin que les comparaisons soient effectuées à 10^-6 près Þ définir une constante EPSILON, et même une fonction environ() qui compare 2 réels à EPSILON près).
    Tester cette version. Pour cela, il suffit de copier/coller le contenu du fichier LineTest5 en écrasant la classe LineTest de la version 4, et d'"exécuter les tests".
    Tout est vert ? (interdiction de modifier LineTest) Exemples :
    - les droites [1.23456789, 9.87654321, -8.] et [9.8765432, -1.2345678, -1.] sont orthogonales ; retourner "O"
    

4.2.6  Version graphique optionnelle

• • On souhaite pouvoir visualiser graphiquement les droites et leur statut (SOPC). Pour cela on utilisera la classe graphique: LineDrawer Lire le mode d’emploi tout au début du fichier.
    1. intégrer la classe précédente dans le projet Lines.
    2.  compiler. En cas d’erreur, modifier votre classe Line, pas LineDrawer !
    3.  tester plusieurs exemples en créant des lignes, en appelant la méthode draw2Lines(), en cliquant sur les 2 objets Line à afficher, et en fermant la fenêtre graphique entre chaque appel.