Résumé:
Nous proposons une approche discrète qui permet de calculer la moyenne de n formes 2D. Une première ébauche est de proposer un algorithme de déformation d'un objet discret vers un autre. Elle présente un premier pas vers le calcul d'une forme moyenne entre deux objets. L'approche que nous élaborons se base sur des opérateurs discrets et les données que nous manipulons sont binaires. En premier lieu, nous développons une méthode qui aligne les deux formes. Cette mise en correspondance minimise les différences géométriques. L'étape suivante consiste à chercher la métamorphose qui permet de déduire la forme moyenne. Diverses techniques de morphing dans le cadre continu sont proposées dans la littérature et se basent essentiellement sur des formes paramétrées de réseaux de polygones, de splines... Mais dans notre contexte, nous essayons d'explorer des méthodes discrètes faisant appel à des opérations d'ajout et de suppression de pixels selon des critères de distance et de préservation de topologie.
Une extension immédiate de cette approche à n formes est réalisée. En partant du même principe, nous calculons une forme moyenne entre deux objets. Ce même processus est répété à chaque introduction d'une nouvelle forme. La (n-1)ème forme moyenne obtenue se voit affectée une pondération n-1 fois plus élevée que la nouvelle forme introduite. Le rang d'une forme donnée dans ce processus joue ainsi un rôle conséquent dans la phase de mise à l'échelle et de recalage. Une solution proposée est d'introduire des poids associés aux formes afin d'atténuer la différence inter-individus dans notre base. Pour préserver la topologie durant ce processus, nous proposons un moyen simpliste de contrôler le nombre de composantes connexes durant la phase d'ajout et de suppression de pixels tout en garantissant une complexité linéaire de l'algorithme.
Cependant, une grande variabilité des formes engendre des difficultés à préserver la topologie, l'indépendance par rapport aux rangs des formes manipulées. L'extension de l'algorithme à la 3ème dimension n'est pas non plus évidente. Par ailleurs, nous ne pouvons pas, avec cette approche, garder une trace statistique des caractéristiques de la population ni éventuellement générer d'autres formes de la même classe. C'est la raison pour laquelle nous proposons une nouvelle approche qui conserve la première phase concernant le recalage rigide des formes, mais travaille par la suite uniquement sur leur contour. Nous essayons de construire un modèle de distribution de points (PDM : Point Distribution Model), ce modèle fait appel à l'analyse par composantes principales (ACP). Cette analyse s'effectue sur les points marqueurs des contours des formes (landmarks) et permet de réduire le nombre des modes de déformations entre les formes. La sélection des points marqueurs se base sur le critère de courbure, nous employons une approche arithmétique discrète basée sur les demi-tangentes et les cercles osculateurs. Les limites de cette approche sont liées aux déformations non linéaires qui peuvent exister entre les différentes formes. Des solutions proposées dans la littérature peuvent remédier à ce problème. Une extension possible est d'introduire la notion d'ordre de courbure afin d'étudier les formes avec un contour bruité.