Résumé:
Beaucoup d'estimateurs géométriques discrets se basent sur la définition de droites discrètes. Ces estimateurs approchent des quantités telles que des tangentes ou des courbures. Parmi l'ensemble des définitions, l'approche arithmétique a permis la conception d'algorithmes incrémentaux de reconnaissance de segments discrets en temps linéaire. D'autres définitions existent, nous nous focaliserons ainsi sur une approche issue de la combinatoire, identifiant les motifs constitutifs des segments discrets. Cette approche permet de mieux cerner les liens entre les pentes de droites discrètes et les fractions continues, de plus elle permet une description plus facile de certains éléments caractéristiques des segments discrets. Un type particulier de segments discret est étudié: les segments maximaux. Ce sont les segments discrets les plus longs sur la courbe discrète. Sur un polygone discret convexe, leur étude via l'approche combinatoire permet de montrer des liens forts entre ce type de segment discret et les arêtes discretes. Ces liens sont en termes de nombre et de longueurs. A l'aide d'un théorème sur les propriétés asymptotiques du nombre de sommets du discrétisé d'une forme convexe C3 dans une grille de plus en plus fine, on prolonge certaines propriétés observées sur les polygones discrets convexes aux discrétisés de forme convexes C3. En conséquence, pour une forme convexe plongée dans une grille m x m ayant un périmètre en O(m), la croissance en longueur moyenne des segments maximaux est de l'ordre de m1/3, et leur nombre en m2/3. Ces résultats permettent d'invalider une hypothèse nécessaire à la convergence d'un estimateur de courbure discret.