Résumé:
Cette thèse a pour objectif principal la définition et l'étude de la notion d'ordre frontière, qui permet de définir la frontière de n'importe quel objet dans le cadre des ordres, utilisés entre autre pour le traitement topologique des images discrètes. Nous montrons que les frontières obtenues par cette méthode sont des (n-1)-surfaces, si l'ordre dans lequel s'exprime l'objet étudié est une n-surface, ce qui est en particulier le cas des grilles de Khalismky, ordres utilisés pour modéliser la topologie de la grille cubique. Nous prouvons de plus que, dans le cadre des complexes simpliciaux -que nous envisageons comme une classe particulière d'ordres- la subdivision dérivée de l'ordre frontière associé à un ensemble de points est isomorphe à la bordure du voisinage dérivé du sous-complexe complet qu'ils définissent.
Afin de compléter notre étude, nous avons aussi mené des recherches sur la notion de n-surface elle-même. Nous démontrons entre autre que les n-surfaces sont une structure intermédiaire entre variété combinatoire et pseudovariété et, fruit d'une collaboration avec S. Alayrangues, P. Lienhardt et J.-O. Lachaud, nous introduisons des opérateurs permettant de convertir les n-surfaces en un sous-ensemble de n-G-cartes et réciproquement et prouvons que les n-surfaces sont stables vis-à-vis de ces opérateurs.
D'un point de vue applicatif, nous montrons comment les ordres frontières peuvent être utilisés pour générer un algorithme de type Marching Cube cohérent vis-à-vis de la grille de Khalimsky et comment il peuvent être utilisés dans le cadre de la topologie digitale. Nous présentons aussi une étude sur la segmentation du neo-cortex cérébral réalisée dans la grille de Khalimsky par le biais d'opérateurs topologiques. Les résultats de cette segmentation sont visualisés au moyen des ordres frontières.
Composition du Jury :
BERTRAND Gilles, examinateur
COUPRIE Michel, directeur de thèse
CROCHEMORE Maxime, examinateur
LACHAUD Jacques-Olivier, examinateur
LIENHARDT Pascal, rapporteur
MALGOUYRES Rémy, rapporteur
RONSE Christian, examinateur